Urodził się 15 lipca 1894 r. w Szerokiej (obecnie dzielnica Jastrzębia-Zdroju). Po ukończeniu szkoły powszechnej pracował jako robotnik. W 1914 r. wcielony do Armii Cesarstwa Niemieckiego. Podczas walk dostał się do niewoli rosyjskiej. W grudniu 1918 r. powrócił na Górny Śląsk. Był członkiem Polskiej Partii Socjalistycznej, wstąpił również do Polskiej Organizacji Wojskowej Górnego Śląska (POW GŚl.). Walczył w I powstaniu śląskim. Po ukończeniu kursów POW został z ramienia PPS [Polskiej Partii Socjalistycznej] kierownikiem pracy organizacyjnej i referentem plebiscytowym na powiat kozielski oraz brał udział w działalności konspiracyjnej. W II powstaniu śląskim uczestniczył w akcjach przeciw Sicherheitspolizei. Prowadził działalność plebiscytową w powiatach rybnickim i pszczyńskim. W III powstaniu śląskim wziął udział w mobilizacji pułku wodzisławskiego. W Wydziale Wykonawczym Naczelnej Władzy Powstańczej pełnił funkcję łącznika prasowego na obszarze objętym działaniami zbrojnymi. Za działalność w okresie powstań i plebiscytu H. Sławik został odznaczony Śląską Wstęgą Waleczności i Zasługi oraz Krzyżem Niepodległości.
Od 1920 r. związał się z „Gazetą Robotniczą”, początkowo jako współpracownik, następnie jako wydawca i redaktor naczelny. Funkcję tę pełnił aż do wybuchu wojny. W 1934 r. wszedł do Rady Naczelnej PPS. W latach 1928–1930 był radnym Katowic. W 1929 r. z ramienia PPS zasiadł w Śląskiej Radzie Wojewódzkiej. 14 lipca 1928 r. H. Sławik poślubił Jadwigę Purzycką. Po dwóch latach małżonkom urodziła się ich jedyna córka Krystyna.
W sierpniu 1939 r. wysłał rodzinę do Warszawy. Sam opuścił Katowice, obawiając się niebezpieczeństwa ze strony Niemców. W ostatnich dniach września 1939 r. H. Sławik przedostał się na Węgry. Tam, przebywając w obozie dla uchodźców, zetknął się z Józsefem Antallem, dzięki któremu objął funkcję prezesa Komitetu Obywatelskiego dla Spraw Opieki nad Polskimi Uchodźcami na Węgrzech. Współpracując z J. Antallem uczestniczył w zorganizowaniu polskiego szkolnictwa. Odegrał także istotną rolę w przerzucie Polaków do Polskich Sił Zbrojnych. Od początku 1940 r. do 1944 r. dzięki H. Sławikowi i J. Antallowi udało się doprowadzić do uratowania co najmniej 5 tys. polskich Żydów.
Pod koniec 1943 r., z Warszawy do Budapesztu dotarła jego żona Jadwiga z córką. Pomimo możliwości wyjazdu całej rodziny do Szwajcarii, H. Sławik postanowił pozostać na Węgrzech, twierdząc, że nie może porzucić powierzonych opiece Komitetu osób. W lipcu 1944 r. H. Sławik trafił w ręce Gestapo. W trakcie przesłuchań Niemcy usiłowali go zmusić do obciążenia J. Antalla. Jednak H. Sławik całą odpowiedzialność wziął na siebie. Tak wspominał J. Antall: Jego twarz i głowa były pokrwawione od bicia. Ale z oczu biło zdecydowanie. Popatrzył się na mnie z przyjacielskim oddaniem i od razu wyprostował się i powiedział: »Sprzeciwiam się – w imieniu prawa międzynarodowego, moralności i sprawiedliwości. Nie oskarżajcie Go. […] Ze Svábhegy [aresztu Gestapo] zabrano nas z powrotem do więzienia. W czasie podróży siedzieliśmy obok siebie w ciemnym czarnym samochodzie. Poszukałem jego ręki, by podziękować mu za uratowanie mego życia. (Z) uściskiem dłoni tak mi szepnął – „Tak płaci Polska”.
Henryk Sławik został powieszony 23 sierpnia 1944 r. w obozie koncentracyjnym w Mauthausen-Gusen. 6 listopada 1990 r. Henryk Sławik został pośmiertnie uhonorowany medalem Sprawiedliwy wśród Narodów Świata przez izraelski Instytut w Yad Vashem. W 2010 r. prezydent Lech Kaczyński odznaczył go Orderem Orła Białego.